Soit $k$ un corps infini de type fini et de caractéristique $p>0$. Soit $X$ un schéma séparé, lisse, géométriquement connexe et de type fini sur $k$ et $f:Y\rightarrow X$ un morphisme propre et lisse. Le résultat principal de cet article est qu'il y a "beaucoup" des points fermés $x\in X$ tels que le rang du groupe de Néron-Severi géométrique de la fibre en $x$ est le même que celui de la fibre générique. Si $X$ est une courbe, sous une hypothèse technique minimale, on montre que cela est vrai pour tous les points $k$-rationnels sauf un nombre fini. Pour $k$ de caractéristique $0$, ces résultats sont dus à André (existence) et Cadoret-Tamagawa (finitude) en utilisant la théorie de Hodge. Pour étendre l'argument en caractéristique positive, on utilise la conjecture variationnelle de Tate en cohomologie cristalline, la comparaison entre différentes cohomologies $p$-adiques et des techniques d'indépendance. Ce résultat donne lieu à des applications à la conjecture de Tate pour les diviseurs, à la borne uniforme des groupes de Brauer, aux familles propres de variétés projectives et à l'étude des familles de sections hyperplans de variétés projectives lisses.