Soit $(X,0)$ un germe de singularité analytique complexe, réduit et équidimensionel tel que son cône tangent $(C_{X,0},0)$ est réduit. On montre que l'absence des cônes exceptionnels est une condition nécessaire et suffisante pour que la partie lisse $\mathcal X ^0$ de la spécialisation sur le cône tangent $\varphi : \mathcal X \to \mathbb C $ satisfasse les conditions de Whitney le long l'axe des paramètres $Y$. Ce résultat est un premier pas vers la généralisation aux dimensions supérieures du résultat de Lê et Teissier pour les hypersurfaces de $\mathbb C ^3$ qui établit la équisingularité à la Whitney de $X$ et son cône tangent sous ces conditions.