Dans cet article nous considérons le problème suivant. Étant donné un opérateur elliptique à coefficients constants, $P(D)$, dans $\mathbb R^n$ $(P(\xi ) \neq 0$ dans $\mathbb R^n)$, et un cône infini $\Gamma $ dans $\mathbb R^n$, quelles sont les conditions pour que la fonction de Green associée $G(x)$ ait un bon comportement asymptotique lorsque $|x| \rightarrow \infty $ dans $\Gamma $ ? Nous présentons une solution à ce problème ainsi que des applications. Ceci est relié à des travaux de Evgrafov et Postnikov.