Un entier est une racine primitive modulo un premier $p$ s'il engendre le groupe multiplicatif $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$. En 1927, Artin conjecture qu'un nombre $a$ qui n'est ni $-1$ ni un carré parfait est racine primitive pour une infinité de nombres premiers, et que l'ensemble de ces premiers a une densité positive parmi tous les premiers. Cette conjecture a été démontrée, sous l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH), en 1967 par Hooley.

Plus généralement, on dit  qu'un entier est une racine primitive généralisée modulo $n$ s'il engendre un sous-groupe de taille maximale dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$. Li et Pomerance ont montré, sous GRH, que l'ensemble des entiers pour lesquels un entier est racine primitive généralisée n'admet pas de densité parmi tous les entiers.

On s'intéresse ici à l'ensemble des entiers $\ell$-presque premiers, c'est-à-dire les entiers ayant au plus $\ell$ facteurs premiers, pour lesquels un entier $a\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}$ donné et différent d'un carré est racine primitive généralisée, et nous montrons, sous GRH, que cet ensemble admet une densité parmi tous les $\ell$-presque premiers.