Les intersections de deux quadratiques dans ${\Bbb P}_k^4$ (c'est-à-dire les surfaces de Del Pezzo de degré $4$, soit lisses, soit “singulières”) constituent la première classe de surfaces rationnelles dont l'arithmétique est non-triviale. L'arithmétique de telles surfaces $X$ dépend de leurs propriétés algébriques (combinatoires) et géométriques, propriétés que l'on peut lire sur l'action du groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\bar {k}/k)$ sur le groupe de Picard $\mathrm{Pic}(\bar X)$ (ici $\bar k$ est une clôture séparable de $k$ et $\bar X = X \times _{k} \bar {k}$). Pour étudier ces propriétés, nous donnons des formules générales pour certains invariants cohomologiques importants. Ces formules nous permettent d'établir la liste des cas “intéressants”, c'est-à-dire des cas où ces invariants sont non triviaux. Nous étudions les équivalences birationnelles entre divers type de surfaces rationnelles de degré $4$, tant en termes géométriques que combinatoires. Puis nous exhibons de nombreux exemples explicites (y compris tous les cas “intéressants”) et nous donnons une méthode générale de construction de tels exemples. Nous étudions aussi les propriétés de rationalité du tore de Néron-Severi.