Pour un sous-corps $K$ de $\Bbb C$ soit $E(k)$ le sous-anneau de $K[[X]]$ formé des séries formelles dont le rayon de convergence est infini. Si $\rho \in {\Bbb R}^+$ ou $\rho = \infty $ on désigne par $E_\rho $ l'anneau des fonctions d'ordre $< \rho $. On pose $E_\rho (K) = E_\rho \cap E(K)$ On montre entre autres choses que l'anneau des polynômes $K[X]$ est définissable dans $E_\rho (K)$ si $\rho < \infty $ ou $K = \Bbb R$ ou $K = \Bbb C$. En particulier, ces anneaux sont indécidables. De plus si $K = \Bbb R$ ou $K = \Bbb C$, alors $E_\rho (K) \equiv E_\sigma (K)$ entraîne $\rho = \sigma $. Soit $M_\rho (K)$ le corps des fractions de $E_\rho (K)$. Si $\rho > 0$ les corps $M_\rho (\Bbb R)$ sont indécidables, et l'on peut même interpréter l'arithmétique du second ordre dans ces corps. Si $\rho \leq 1$ et $K$ est un sous-corps pythagoricien de $\Bbb R$, les corps $M_\rho (K)$ sont indécidables. Si $\rho > 1$ le sous anneau de $M_\rho (\Bbb R)$ formé des fonctions sans pôles réels est définissable dans $M_\rho (\Bbb R)$.