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Volume de sphères dans les espaces métriques mesurés doublants et dans les groupes à croissance polynomiale

Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth

Romain Tessera
Volume de sphères dans les espaces métriques mesurés doublants et dans les groupes à croissance polynomiale
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  • Année : 2007
  • Fascicule : 1
  • Tome : 135
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 20F65; Secondary 51F99
  • Pages : 47-64
  • DOI : 10.24033/bsmf.2525
Soit $G$ un groupe localement compact, compactement engendré et $U$ une partie compacte génératrice. On prouve que si G est à croissance polynomiale, alors la suite des puissances de $U$ forme une suite de Følner et on montre que le rapport $\frac {\mu (U^{n+1}\smallsetminus U^n)}{\mu (U^n)}$ tend polynomialement vers $0$. La démonstration n'utilise que deux ingrédients : le fait qu'un groupe à croissance polynomiale est doublant, et une propriété de faible géodésicité : la propriété (M). Par conséquent ce résultat s'étend à une large e d'espaces métriques mesurés doublants, comme les graphes et les variétés riemanniennes. Comme application, nous obtenons un théorème ergodique presque sûr et dans $L^p$ ($1\leq p<\infty $) pour les moyennes sur les boules d'un groupe à croissance polynomiale.
Let $G$ be a compactly generated locally compact group and let $U$ be a compact generating set. We prove that if $G$ has polynomial growth, then $(U^n)_{n\in \N }$ is a Følner sequence and we give a polynomial estimate of the rate of decay of $ \frac {\mu (U^{n+1}\smallsetminus U^n)}{\mu (U^n)}. $ Our proof uses only two ingredients : the doubling property and a weak geodesic property that we call Property (M). As a matter of fact, the result remains true in a wide of doubling metric measured spaces including manifolds and graphs. As an application, we obtain a $L^p$-pointwise ergodic theorem ($1\leq p<\infty $) for the balls averages, which holds for any compactly generated locally compact group $G$ of polynomial growth.
Isopérimétrie, sphères, groupes localement compacts, croissance du volume dans les groupes, espaces métriques mesurés, propriété de doublement
Isoperimetry, spheres, locally compact groups, volume growth in groups, metric measure Spaces, Doubling Property
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