Étant donnés $p\in [1,+\infty [$ et un arbre $T$ dont chaque sommet est de valence au moins $3$, on étudie la constante de Sobolev d'exposant $p$ de $T$, c'est-à-dire la plus petite constante $\sigma _p$ telle que pour tout $u\in \ell _p(T^0)$ on ait $\Vert u\Vert ^p_p \le \sigma _p \Vert \rmd u\Vert ^p_p$. Notre motivation vient de la recherche de graphes finis avec des petites constantes de Poincaré d'exposant $p$, en vue d'obtenir des exemples de groupes qui ont la propriété de point fixe sur les espaces $L^p$.