Le chaînage, une longue histoire par Michel Talagrand

Michel Talagrand est Directeur de Recherche Émérite au CNRS, membre de l'Académie des Sciences, lauréat du Prix Shaw 2019. Élève de Gustave Choquet, ses contributions scientifiques couvrent des sujets allant de la théorie de la mesure et de l'analyse fonctionnelle, à la théorie des probabilités et à la physique statistique. Il a démontré plusieurs conjectures importantes comme, par exemple, la conjecture de Fernique sur la régularité des processus gaussiens, le problème des trois espaces pour $\mathrm {L}^1$, la formule de Parisi dans la théorie des verres de spin, ou encore le problème de Maharam en théorie de la mesure. Avec ses idées et méthodes originales et novatrices, Michel Talagrand a marqué de son empreinte plusieurs domaines des mathématiques par des résultats et des contributions de premier plan.

Les premiers travaux de Michel Talagrand sont consacrés à la théorie de la mesure et à l'étude des espaces de Banach, résolvant plusieurs questions centrales (avec notamment des collaborations avec Jean Bourgain et David Fremlin), dont plus récemment le problème de Maharam [9]. En 1987, Michel Talagrand établit la caractérisation métrique par les mesures majorantes de la régularité des processus gaussiens, une percée majeure dans l'étude des fonctions aléatoires [1]. La méthodologie du chaînage de Kolmogorov mise en œuvre le conduit par ailleurs à des résultats significatifs sur le problème d'appariement optimal. Les inégalités isopérimétriques et de concentration qu'il développe au tournant des années 1990 [4,5] ont introduit un nouveau point de vue sur l'indépendance en théorie des probabilités, avec des travaux allant de l'analyse géométrique asymptotique, promue par Vitali Milman, aux processus empiriques en statistique, et un large éventail d'applications en probabilités, mathématiques discrètes et combinatoire. Par la suite, son étude monumentale sur les verres de spin (et divers modèles de physique statistique) et les résultats définitifs qu'il a obtenus, notamment la preuve de la formule de Parisi [8], ont confirmé rigoureusement la plupart des conjectures du domaine.

Au moins quatre inégalités, distinctes et fondamentales, portent le nom d'inégalité de Talagrand : la célèbre inégalité de la distance convexe [2,4], l'inégalité $\mathrm { L}^2$-$\mathrm {L}^1$ de Poincaré sur le cube discret [3], l'inégalité de coût de transport quadratique pour la mesure gaussienne [6], et l'inégalité de concentration pour le supremum d'un processus empirique [7]. Toutes ces inégalités ont à la fois façonné les mathématiques des dernières décennies et sont des outils essentiels de la recherche actuelle.

Michel Talagrand s'est aussi investi dans l'exposition de ses thèmes de prédilection et résultats. Ses livres sur les verres de spin [10] et le chaînage [11], et plus récemment son ouvrage d'introduction à la théorie quantique des champs [12], sont des références qui font autorité, sources de développements futurs.

Bibliographie

[1] M. Talagrand. Regularity of Gaussian processes. Acta Math.159, 99--149 (1987).

[2] M. Talagrand. A new isoperimetric inequality for product measure and the tails of sums of independent random variables. Geom. Funct. Anal. 1, 211--223 (1991).

[3] M. Talagrand. On Russo's approximate zero-one law. Ann. Probab. 22, 1576--1587 (1994).

[4] M. Talagrand. Concentration of measure and isoperimetric inequalities in product spaces. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 81, 73--205 (1995).

[5] M. Talagrand. A new look at independence. Ann. Probab. 24, 1--34 (1996).

[6] M. Talagrand. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. Funct. Anal. 6, 587--600 (1996).

[7] M. Talagrand. New concentration inequalities in product spaces. Invent. Math. 126, 505--563 (1996).

[8] M. Talagrand. The Parisi formula. Ann. of Math. 163, 221--263 (2006).

[9] M. Talagrand. Maharam's problem. Ann. of Math. 168, 981--1009 (2008).

[10] M. Talagrand. Mean field models for spin glasses. Volume I \& II.  Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete~54 & 55. Springer (2011).

[11]  M. Talagrand. Upper and lower bounds for stochastic processes. Decomposition theorems. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 60. Springer (2021).

[12] M. Talagrand.  What is a quantum field theory? A first introduction for mathematicians. Cambridge University Press (2022).