Nous donnons une condition numérique garantissant qu'un flot de Reeb dynamiquement convexe sur la sphère $S^3$ soit lévogyre. Notre condition fait intervenir un certain rapport asymptotique entre le taux de rotation du flot linéarisé et le nombre d'enlacement entre les trajectoires et une orbite périodique qui borde une surface de section globale de type disque. En application, nous trouvons une constante explicite $\delta_*<0{,}7225$ telle que si une métrique riemannienne sur la sphère $S^2$ est $\delta$-pincée avec $\delta>\delta_*$, alors son flot géodésique se relève en un flot lévogyre sur la sphère $S^3$. En particulier, toute collection non vide finie d'orbites périodiques d'un tel flot géodésique borde un livre ouvert dont les pages sont des surfaces de section globale.