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Nombre de points des variétés de carquois nilpotentes sur les corps finis

On the number of points of nilpotent quiver varieties over finite fields

Tristan BOZEC, Olivier SCHIFFMANN & Eric VASSEROT
Nombre de points des variétés de carquois nilpotentes sur les corps finis
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 6
  • Tome : 53
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14L30, 17B08, 17B67
  • Pages : 1501-1544
  • DOI : 10.24033/asens.2452

Nous donnons une formule close exprimant le nombre de $\mathbb{F}_q$-points des variétés nilpotentes de Lusztig associées à un carquois quelconque en termes des $A$-polynômes de Kac. Lorsque le carquois possède des $1$-cycles ou des cycles orientés, il existe plusieurs variantes des variétés nilpotentes de Lusztig ; nous fournissons des formules pour le nombre de $\mathbb{F}_q$ points dans tous les cas. Ceci fait intervenir des variantes nilpotentes des polynômes de Kac que nous définissons et pour lesquels nous donnons une formule similaire à la formule de Hua pour les polynômes de Kac usuels. Enfin, nous calculons  également les nombres de $\mathbb{F}_q$-points des diverses strates de la variété nilpotente de Lusztig impliquées dans la réalisation géométrique des graphes de cristaux. Nous en déduisons une démonstration de l'analogue, pour un carquois arbitraire, de la conjecture de Kac liant caractère des algèbres de Kac-Moody et terme constant des $A$-polynômes.

We give a closed expression for the number of points over finite fields of the Lusztig nilpotent variety associated to any quiver, in terms of Kac's $A$-polynomials. When the quiver has $1$-loops or oriented cycles, there are several possible variants of the Lusztig nilpotent variety, and we provide formulas for the point count of each. This involves nilpotent versions of the Kac $A$-polynomial, which we introduce and for which we give a closed formula similar to Hua's formula for the usual Kac $A$-polynomial.
Finally we compute the number of points over a finite field of the various strata of the Lusztig nilpotent variety involved in the geometric realization of the crystal graph.

Variétés de carquois, polynômes de Kac, variété nilpotente de Lusztig
Quiver varieties, Kac polynomials, Lusztig nilpotent variety
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