Dans cet article, nous étudions un schéma d'approximation des solutions de l'équation de Beltrami, c'est-à-dire le redressement des champs d'ellipses, également connu sous le nom de théorème de l'application conforme mesurable sur $\mathbb C$. En introduisant une suite de surfaces de similitude obtenues par recollement de polygones, nous expliquons la relation entre leur uniformisation conforme et la formule de Schwarz-Christoffel. Les aspects numériques, en particulier l'efficacité de l'algorithme, ne sont pas étudiés ici mais nous donnons un certain nombre de conséquences théoriques intéressantes. D'abord, nous donnons une preuve indépendante que la solution de l'équation de Beltrami dépend analytiquement des données initiales, c'est-à-dire de la forme de Beltrami (théorème d'Ahlfors-Bers). Pour cela, nous prouvons, sans utiliser le théorème de Ahlfors-Bers, que les symboles de Christoffel apparaissant dans la formule de Schwarz-Christoffel dépendent holomorphiquement des polygones. Ensuite, ces symboles de Christoffel définissent une suite de transports parallèles sur le domaine. Dans le cas où la forme de Beltrami est $C^2$ et à support compact, nous prouvons que cette suite converge vers le transport parallèle associé à une certaine connexion affine que nous identifions.