En utilisant des méthodes de topologie à grande échelle, on prouve que les classes fondamentales des variétés agrandissables ne s’annulent pas, ni dans l’homologie rationnelle de leurs groupes fondamentaux, ni dans la $K$-théorie des $C^∗$-algèbres réduites correspondantes. Nos résultats ne dépendent pas de la conjecture de Baum–Connes, et confirment de façon indépendante certaines conséquences de cette conjecture.