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Conjectures de Manin et Peyre sur les points rationnels et mélange adélique

Manin's and Peyre's conjectures on rational points and adelic mixing

Alex GORODNIK, François MAUCOURANT, Hee OH
Conjectures de Manin et Peyre sur les points rationnels et mélange adélique
  • Année : 2008
  • Fascicule : 3
  • Tome : 41
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14G25 (11G35 14G05 20G35 37A25)
  • Pages : 385-437
  • DOI : doi.org/10.24033/asens.2071

Soit $X$ la compactification magnifique d’un groupe algébrique semi-simple $\mathbf{G}$, connexe, de type adjoint, défini sur un corps de nombres $K$. Nous démontrons l’asymptotique conjecturée par Manin du nombre de points $K$-rationnels sur $X$ de hauteur plus petite que $T$, lorsque $T\to+\infty$, et construisons de manière explicite une mesure sur $X(\mathbf{A})$, généralisant celle de Peyre, qui décrit la répartition asymptotique des points rationnels $\mathbf{G}(K)$ sur $X(\mathbf{A})$. Ce travail repose sur la propriété de mélange de $L^2(\mathbf{G}(K)\setminus\mathbf{G}(\mathbf{A}))$, qui est démontrée avec une estimée de vitesse.

Let $X$ be the wonderful compactification of a connected adjoint semisimple group $\mathbf{G}$ defined over a number field $K$. We prove Manin’s conjecture on the asymptotic (as $T\to+\infty$) of the number of $K$-rational points of $X$ of height less than $T$, and give an explicit construction of a measure on $X(\mathbb{A})$, generalizing Peyre’s measure, which describes the asymptotic distribution of the rational points $\mathbf{G}(K)$ on $X(\mathbf{A})$. Our approach is based on the mixing property of $L^2(\mathbf{G}(K)\setminus\mathbf{G}(\mathbf{A}))$ which we obtain with a rate of convergence.

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