Considérons un opérateur elliptique sous forme divergence à coefficients symétriques non constants.
Si ces coefficients sont périodiques, la théorie de Floquet-Bloch permet de diagonaliser l'opérateur elliptique, ce qui est crucial
pour l'étude des propriétés spectrales de l'opérateur et le point de départ usuel pour l'étude des propriétés d'homogénéisation en temps long de l'opérateur des ondes associé. Quand les coefficients ne sont pas périodiques (disons quasi-périodiques, presque périodiques, ou aléatoires stationnaires ergodiques), la théorie de Floquet-Bloch ne s'applique plus et les propriétés spectrales ainsi que le comportement en temps long de l'opérateur des ondes associé ne sont pas claires a priori.
Aux basses fréquences, nous pouvons cependant considérer un développement de Taylor formel des ondes de Bloch (que celles-ci existent ou non) en se basant sur des correcteurs introduits en homogénéisation elliptique. Ces ondes de Taylor-Bloch diagonalisent l'opérateur elliptique à un terme d'erreur près (un "défaut propre"), que nous exprimons à l'aide d'une nouvelle famille de correcteurs étendus. Nous utilisons cette formulation des défauts propres pour quantifier les propriétés de transport et d'homogénéisation en temps long pour l'équation des ondes associée en termes de croissance spatiale des correcteurs étendus.
D'une part, cela quantifie la validité de l'homogénéisation en temps long (à la fois pour l'opérateur homogénéisé standard et pour des versions d'ordre supérieur).
D'autre part, cela nous permet d'établir le transport balistique asymptotique des ondes classiques aux basses énergies pour des opérateurs presque périodiques et aléatoires.