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Sur la compatibilité local-global modulo $p$ pour $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ dans le cas ordinaire

On mod $p$ local-global compatibility for $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ in the ordinary case

Chol PARK, Zicheng QIAN
Sur la compatibilité local-global modulo $p$ pour $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ dans le cas ordinaire
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  • Année : 2022
  • Tome : 173
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F80, 11F33
  • Nb. de pages : vi+150
  • ISBN : 978-2-85629-945-6
  • ISSN : 0249-633-X; 2275-3230
  • DOI : 10.24033/msmf.481

Soient $p$ un nombre premier, $n>2$ un entier, et $F$ un corps à multiplication complexe dans lequel $p$ est complètement décomposé. Supposons qu'une représentation galoisienne automorphe continue $\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/F)\rightarrow \mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{F}}_p)$ est triangulaire supérieure, Fontaine-Laffaille et suffisament générique (dans un certain sens) en une place $w$ au-dessus de $p$. On montre, en admettant un résultat d'élimination de poids de Serre, que la classe d'isomorphisme de $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ est déterminée par l'action de $\mathrm{GL}_n(F_w)$ sur un espace de formes automorphes modulo $p$ découpé par l'idéal maximal associée à $\overline{r}$ dans une algèbre de Hecke. En particulier, on montre que la partie sauvagement ramifiée de $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ est déterminée par l'action de sommes de Jacobi (vus comme éléments de $\mathbf{F}_p[\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_p)]$) sur cet espace.

Let $p$ be a prime number, $n>2$ an integer, and $F$ a CM field in which $p$ splits completely. Assume that a continuous automorphic Galois representation $\overline{r}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/F)\rightarrow \mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{F}}_p)$ is upper-triangular and satisfies certain genericity conditions at a place $w$ above~$p$, and that every subquotient of $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ of dimension $>2$ is Fontaine-Laffaille generic. In this paper, we show that the isomorphism class of $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ is determined by $\mathrm{GL}_n(F_w)$-action on a space of mod $p$ algebraic automorphic forms cut out by the maximal ideal of a Hecke algebra associated to $\overline{r}$. In particular, we show that the wildly ramified part of $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}_p/F_w)}$ is determined by the action of Jacobi sum operators (seen as elements of $\mathbf{F}_p[\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_p)]$) on this space.

Mod p local-global compatibility, Fontaine-Laffaille modules, strongly divisible modules, potentially crystalline representations, Jacobi sums, mod p reduction of Deligne-Lusztig representations.

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