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Notes de cours sur le champ libre gaussien

Lecture Notes on the Gaussian Free Field

Wendelin WERNER, Ellen POWELL
Notes de cours sur le champ libre gaussien
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  • Année : 2021
  • Tome : 28
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60G60, 60G15, 60J67, 82B20, 82B21
  • Nb. de pages : 184
  • ISBN : 978-2-85629-952-4
  • ISSN : 1284-6090

Le champ libre gaussien dans le continu est la généralisation naturelle du mouvement brownien, lorsque l'on remplace l'axe temporel par un ensemble multidimensionnel. Tandis que le mouvement brownien peut être considéré comme étant la fonction aléatoire réelle continue telle que $B(0)=0$ la plus naturelle, le champ libre défini sur un domaine$D$ de $R^d$ est une fonction généralisée (au sens des distributions) réelle aléatoire naturelle $\Gamma$ définie sur $D$ telle que $\Gamma = 0$ sur $\partial D$. En particulier, ce n'est pas une fonction continue aléatoire.

Le but de ces notes de cours est de décrire divers aspects du champ libre gaussien dans le continu, ainsi que de ses analogues discrets définis sur des réseaux, afin de donner une introduction autonome à des développements récents sur ces thèmes, comme la relation entre le champ libre gaussien, les soupes de lacets browniens et (en dimension deux) les ensembles conformes de boucles CLE$_4$.

Ces notes sont une version complétée  des notes de cours rédigées par le premier auteur (WW) pour des cours avancés à l'ETH de Zürich (École polytechnique fédérale de Zurich) en 2014 et 2018. Elles ont ainsi bénéficié des commentaires et corrections d'étudiants, ainsi que d'un rapporteur anonyme que nous remercions. Les exercises qui figurent dans la première partie du cours correspondent à des feuilles d'exercices préparées par le second auteur (EP) pour ce cours en 2018.

The Gaussian Free Field (GFF) in the continuum appears to be the natural generalisation of Brownian motion, when one replaces time by a multidimensional continuous parameter. While Brownian motion can be viewed as the most natural random real-valued function defined on $R_+$ with $B(0)=0$, the GFF in a domain $D$ of $R^d$ for $d \ge 2$ is a natural random real-valued  generalised function defined on $D$ with zero boundary conditions on $\partial D$. In particular, it is not a random continuous function.

The goal of these lecture notes is to describe some aspects of the continuum GFF and of its discrete counterpart defined on lattices, with the aim of providing a gentle self-contained introduction to some recent developments on this topic, such as the relation between the continuum GFF, Brownian loop-soups and the Conformal Loop Ensembles CLE$_4$.

This is an updated and expanded version of the notes written by the first author (WW) for graduate courses at ETH Zürich (Swiss Federal Institute of Technology in Zürich) in 2014 and 2018. It has benefited from the comments and corrections of students, as well as of a referee; we thank them all very much. The exercises that are interspersed in the first half of these notes mostly originate from the exercises sheets prepared by the second author (EP) for this course in 2018.

Champ libre gaussien, ensembles locaux, propriété de Markov, soupes de lacets, processus SLE
Gaussian free field, local sets, Markov properties, loop-soups, Brownian loop-soups, Schramm-Loewner Evolution

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