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Exposé Bourbaki 1168 : Un lemme de fermeture $C^\infty$ (d'après Asaoka et Irie)

Exposé Bourbaki 1168 : A $C^\infty$ clossing lemma (after Asaoka and Irie)

Vincent HUMILIÈRE
Exposé Bourbaki 1168 : Un lemme de fermeture $C^\infty$ (d'après Asaoka et Irie)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37J10 (37E30 37J45 53D42)
  • Pages : 55-92
  • DOI : 10.24033/ast.1157

Nous présenterons le contexte ainsi que certaines des idées menant à la démonstration par Asaoka et Irie du résultat suivant: $C^{\infty}$-génériquement, les orbites périodiques d'un difféomorphisme hamiltonien d'une surface compacte sont denses. C'est une conséquence d'un résultat analogue pour les flots de Reeb en dimension $3$, obtenu par Irie et basé sur une théorie très sophistiquée due à Hutchings, l'homologie de contact plongée. Nous verrons que le point clé de cette démonstration est la "conjecture du volume", établie par Cristofaro-Gardiner, Hutchings et Ramos. Selon celle-ci, le volume d'une forme de contact s'obtient comme limite de certains invariants extraits de l'homologie de contact plongée que nous présenterons.

We present the context as well as some ideas leading to the proof by Asaoka and Irie of the following result: $C^{\infty}$-generically, the periodic orbits of a hamiltonian differomorphism of a compact surface are dense. This is a consequence of an analogous result for Reeb flows in dimension $3$, obtained by Iria and relying on a very sophisticated theory due to Hutchings, the embedded contact homology. We will see that the main point of this proof is the "volume conjecture'' that was established by Cristofaro-Gardiner, Hutchings and Ramos. According to this conjecture, the volume of a contact form can be obtained as the limit of certain invariants extracted from embedded contact homology that we will present.

Lemme de fermeture, dynamique hamiltonienne, dynamique de Reeb, homologie de contact plongée
Closing lemma, Hamiltonian dynamics, Reeb dynamics, embedded contact homology

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