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Exposé Bourbaki 1169 : Estimations de résolvante et localisation du spectre pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints (d'après Nils Dencker, Johannes Sjöstrand et Maciej Zworski)

Exposé Bourbaki 1169 : Resolvent estimates and localization of the spectrum for certain classes of non-selfadjoint semiclassical pseudodifferential operators (after Dencker, Sjöstrand and Zworski)

Karel PRAVDA-STAROV
Exposé Bourbaki 1169 : Estimations de résolvante et localisation du spectre pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints (d'après Nils Dencker, Johannes Sjöstrand et Maciej Zworski)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35S05, 35H20
  • Pages : 93-129
  • DOI : 10.24033/ast.1158

L’objet de l’exposé sera de présenter les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski sur le pseudo-spectre de certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints. L’étude des propriétés pseudo-spectrales d’un opérateur revient à étudier les lignes de niveau de la norme de sa résolvante. Pour des opérateurs non autoadjoints, il s’agit d’un problème non trivial, et ce même lorsque le spectre de ces opérateurs est connu. En effet, il n’y a aucun contrôle a priori de la résolvante d’un opérateur non autoadjoint par son spectre, et la résolvante d’un tel opérateur peut exploser en norme dans des régions non bornées de l’ensemble résolvant très éloignées du spectre. Les travaux de Dencker, Sjöstrand et Zworski que nous présenterons montrent comment la théorie de l’analyse microlocale et notamment des résultats de non résolubilité ou de sous-ellipticité, permettent d’expliquer ces phénomènes de contrôle ou d’explosion de la résolvante pour certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques non autoadjoints.

In this talk, we shall present the works by Dencker, Sjöstrand and Zworski on the pseudospectrum of certain classes of non-selfadjoint semiclassical pseudodifferential operators. Understanding the pseudospectral properties of an operator reduces to studying the level lines of the norm of its resolvent. For non-selfadjoint operators, it is a non trivial problem even if the spectra of these operators are known. Indeed, there is no a priori control of the resolvent of a non-selfadjoint operator by its spectrum, and the resolvent of such an operator can blow up in norm in some unbounded regions of the resolvent set far from the spectrum. The works by Dencker, Sjöstrand and Zworski show how the microlocal analysis theory, and in particular some results of non solvability and subellipticity, allow one to account for these phenomena of control or blow up for the resolvents of certain classes of non-selfadjoint semiclassical pseudodifferential operators.

Analyse microlocale, pseudospectre, résolubilité, sous-ellipticité
Microlocal analysis, pseudospectrum, solvability, subellipticity

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