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Exposé Bourbaki 1172 : Volume d'ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien (d'après Logunov, Malinnikova, ainsi que Yau, Brüning, Donnelly-Feffermann, Hardt-Simon,...)

Exposé Bourbaki 1172 : Volumes of nodal sets for eigenfunctions of the Laplace operator (after Logunov and Malinnikova)

Maxime INGREMEAU
Exposé Bourbaki 1172 : Volume d'ensembles nodaux de fonctions propres du laplacien (d'après Logunov, Malinnikova, ainsi que Yau, Brüning, Donnelly-Feffermann, Hardt-Simon,...)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 58G25, 35P05
  • Pages : 183-214
  • DOI : 10.24033/ast.1161

Nous présenterons les travaux récents de Logunov et Malinnikova sur la conjecture de Yau. Celle-ci affirme que, sur une variété Riemannienne compacte $(X, g)$ de dimension $d$, le lieu d’annulation d’une fonction propre de l’opérateur de Laplace-Beltrami de valeur propre $\lambda$ possède une mesure de Hausdorff $(d-1)$-dimensionnelle comprise entre $c\sqrt{\lambda}$ et $C\sqrt{\lambda}$, où $c$ et $C$ sont des constantes ne dépendant que de la variété $(X, g)$. Cette conjecture a été prouvée lorsque $(X, g)$ est une variété analytique par Donnelly et Feffermann. Lorsque $(X, g)$ est une surface non analytique, la borne inférieure a été obtenue par Brüning, tandis que Donnelly et Feffermann ont montré une borne supérieure en $\lambda^{3/4}$. Toutefois, sur une variété non-analytique de dimension $\geq 3$, les résultats connus étaient beaucoup moins précis : les meilleurs bornes inférieures disponibles ne tendaient pas vers l'infini quand $\lambda \to +\infty$, et les meilleures bornes supérieures (obtenues par Hardt et Simon) croissaient exponentiellement avec $\lambda$. En introduisant des arguments de nature combinatoire, Logunov et Malinnikova ont montré la borne inférieure de la conjecture en toute dimension, et ont obtenu des bornes supérieures polynomiales.

We will present recent works by Logunov and Malinnikova toward Yau’s conjecture. This conjecture asserts that, on a compact Riemannian manifold $(X,g)$ of dimension $d$, the zero set of an eigenfunction of the Laplace operator associated with the eigenvalue $\lambda$ has a $(d-1)$-dimensional Haussdorff measure between $c\sqrt{\lambda}$ and $C\sqrt{\lambda}$, where $c$ and $C$ depend only on $(X, g)$. Yau’s conjecture was proved by Donnelly and Feffermann when $(X, g)$ is an analytic manifold. When $(X, g)$ is a non-analytic surface, the lower bound was proved by Brüning whereas Donnelly 3/4 and Fefferman gave an upper bound in λ . However, in dimension ≥ 3, the previous uncondi- tional results were much less accurate : the best lower bounds don’t tend to ∞ as λ tends to ∞ and the best upper bound (obtained by Hardt and Simon) grew exponentially fast with λ. Via the introduction of arguments of combinatorial nature, Logunov and Malinnikova prove the lower bound of Yau’s conjecture in any dimension and obtained polynomial upper bounds.

Ensembles nodaux, fonctions propres du laplacien, conjecture de Yau, fonctions harmoniques, indice de doublement
Nodal sets, Laplace eigenfunctions, Yau's conjecture, Harmonic functions, doubling index

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