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Exposé Bourbaki 1170 : Théorie de Hodge et o-minimalité (d'après B. Bakker, Y. Brunebarbe, B. Klingler et J. Tsimerman)

Exposé Bourbaki 1170 : Hodge theory and o-minimality (after B. Bakker, Y. Brunebarbe, B. Klingler, and J. Tsimerman)

Javier FRESAN
Exposé Bourbaki 1170 : Théorie de Hodge et o-minimalité (d'après B. Bakker, Y. Brunebarbe, B. Klingler et J. Tsimerman)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14D07, 14C30, 03C64, 22F30
  • Pages : 131-157
  • DOI : 10.24033/ast.1159

Une famille de variétés projectives lisses paramétrées par une variété complexe $S$ donne lieu, par le biais de la théorie de Hodge, à une application holomorphe de $S$ vers un quotient d’un ouvert d’une variété de drapeaux. Bien que la cible admette rarement une structure algébrique, ces applications dites de périodes ont un comportement modéré à l’infini : elles sont définissables dans la structure o-minimale engendrée par les fonctions analytiques restreintes et l’exponentielle réelle. J’explique ce théorème et quelques-unes de ses applications : une nouvelle démonstration de l’algébricité des lieux de Hodge et une démonstration d’une conjecture de Griffiths selon laquelle les images des applications de périodes sont des variétés quasi-projectives. Une partie des résultats repose sur des progrès en géométrie o-minimale, notamment un théorème de type GAGA généralisant le théorème de Chow o-minimal de Peterzil-Starchenko.

A family of smooth projective varieties parameterised by a complex variety $S$ gives rise by means of Hodge theory to a holomorphic map from $S$ to a quotient of an open subset of a flag variety. Although the target rarely admits an algebraic structure, these so-called period maps have moderate behaviour at infinity: they are definable in the o-minimal structure generated by restricted analytic functions and the real exponential. I explain this theorem and two striking applications: a new proof of the algebraicity of Hodge loci and a proof of Griffiths's conjecture that the images of period maps are quasi-projective varieties. Part of these results rely on advances on o-minimal geometry, namely a GAGA type theorem generalising the o-minimal Chow theorem of Peterzil-Starchenko.

Variation de structures de Hodge, application de périodes, structure o-minimale
Variation of Hodge structures, period map, o-minimal structure

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