SMF

Exposé Bourbaki 1173 : Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini (d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist,…)

Exposé Bourbaki 1173 : Ratner type phenomena in infinite volume hyperbolic manifolds (after McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist,...)

Nicolas THOLOZAN
Exposé Bourbaki 1173 : Phénomènes de type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini (d’après McMullen, Mohammadi, Oh, Benoist,…)
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37A17, 22E40
  • Pages : 215-235
  • DOI : 10.24033/ast.1162

Parmi les nombreuses applications des travaux de Ratner sur l’équidistribution des flots unipotents, on trouve le théorème suivant : Soit $M$ une $3$-variété hyperbolique complète de volume fini. Alors toute surface totalement géodésique immergée dans $M$ est soit fermée (et donc proprement immergée), soit dense dans $M$.

Nous présenterons ici certains résultats récents de McMullen, Mohammadi, Oh et Benoist qui généralisent ce théorème à une large classe de variétés hyperboliques de volume infini : les variétés \emph{géométriquement finies} et \emph{acylindriques}. Leurs arguments s’inspirent de ceux développés par Margulis dans sa résolution de la conjecture d’Oppenheim.

Among the many applications of Ratner’s works on the equidistribution of unipotent flows, one finds the following theorem : Let $M$ be a complete, finite volume, hyperbolic $3$-manifold. Then every immersed totally geodesic surface in $M$ is either closed (hence properly immersed) or dense in $M$.

We present here recent results by McMullen, Mohammadi, Oh and Benoist which generalize the above theorem to a large class of infinite volume hyperbolic $3$-manifolds : those that are \emph{geometrically finite} and \emph{acylindrical}. Their arguments are inspired by the ones developed by Margulis in his resolution of the Oppenheim conjecture.

Dynamique homogène, géométrie hyperbolique, groupes kleinéens
Homogeneous dynamics, hyperbolic geometry, Kleinian groups

Prix Papier
Public price 10.00 €
Member price 7.00 €
Quantité
- +