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Exposé Bourbaki 1176 : Progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov (d'après Goncharov, Rudenko, Gangl,...)

Exposé Bourbaki 1176 : Recent progress on Zagier’s conjecture and Goncharov’s program (after Goncharov, Rudenko, Gangl,…)

Clément DUPONT
Exposé Bourbaki 1176 : Progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov (d'après Goncharov, Rudenko, Gangl,...)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 1G55, 19F27, 11R42, 19E20, 19F15, 18M25
  • Pages : 295-343
  • DOI : 10.24033/ast.1165

La formule analytique du nombre de classes relie le résidu en $s=1$ de la fonction zêta de Dedekind d’un corps de nombres à une quantité transcendante, le régulateur, qui est un déterminant de logarithmes d’unités du corps de nombres. A la fin des années 80, Zagier a conjecturé une généralisation de ce résultat classique à toutes les valeurs spéciales des fonctions zêta de Dedekind, où les polylogarithmes remplacent le logarithme. L’existence de régulateurs supérieurs reliés à ces valeurs spéciales résulte du calcul par Borel de la cohomologie stable du groupe linéaire, et la conjecture de Zagier peut être vue comme une recherche de cocycles explicites pour ces groupes de cohomologie. Une interprétation plus conceptuelle, en lien avec la théorie des motifs, a été donnée par Beilinson et Deligne. Dans le même temps, Goncharov a développé un programme qui englobe la conjecture de Zagier dans un ensemble de constructions et de conjectures qui visent à comprendre  la K-théorie et les motifs de Tate mixtes "par générateurs et relations". Il sera question dans cet exposé de progrès récents sur la conjecture de Zagier et le programme de Goncharov. On abordera notamment la preuve par Goncharov et Rudenko de la conjecture de Zagier dans le cas de la valeur spéciale en $s=4$. La combinatoire des dissections des polygones est un ingrédient important, qui permet d’organiser les équations fonctionnelles des polylogarithmes.

The analytic class number formula relates the residue at $s=1$ of the Dedekind zeta function of a number field to a transcendental quantity, the regulator, which is a determinant of logarithms of units of the number field. At the end of the 80s, Zagier conjectured a generalization of this classical result to all special values of Dedekind zeta functions, where polylogarithms replace the logarithm function. The existence of higher regulators linked to these special values results from Borel’s computation of the stable cohomology of the general linear group, and Zagier’s conjecture can be viewed as a quest for explicit cocycles for these cohomology groups. A more conceptual interpretation, connected to the theory of motives, was given by Beilinson and Deligne. At the same time, Goncharov developed a program which incorporates Zagier’s conjecture in a collection of constructions and conjectures aimed at understanding K-theory and mixed Tate motives "by generators and relations". In this talk we will report on recent progress on Zagier’s conjecture and Goncharov’s program. In particular, we will discuss the proof, by Goncharov and Rudenko, of Zagier’s conjecture for the case of the special value at $s=4$. The combinatorics of polygon dissections is an important ingredient, which organizes functional equations of polylogarithms.

Valeurs spéciales de la fonction zêta, polylogarithmes, conjecture de Zagier, K-théorie, régulateurs, motifs de Tate mixtes, programme de Goncharov
Special values of the zeta function, polylogarithms, Zagier's conjecture, K-theory, regulators, mixed Tate motives, Goncharov's program

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