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Exposé Bourbaki 1178 : Sous-variétés totalement géodésiques des espaces de modules de Riemann (d'après Eskin, McMullen, Mukamel, Wright)

Exposé Bourbaki 1178 : Totally geodesics submanifolds of Riemann moduli spaces (after Eskin, McMullen, Mukamel, Wright)

Élise GOUJARD
Exposé Bourbaki 1178 : Sous-variétés totalement géodésiques des espaces de modules de Riemann (d'après Eskin, McMullen, Mukamel, Wright)
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  • Année : 2021
  • Tome : 430
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 57K20 (30F45 30F60 58D27)
  • Pages : 407-424
  • DOI : 10.24033/ast.1167

Soit $\mathcal M_{g,n}$ l'espace de modules des surfaces de Riemann de genre $g$ à $n$ points marqués. Cet espace est naturellement muni de la métrique de Teichmüller, une métrique de Finsler qui permet de comparer les structures conformes sur les surfaces, et qui coïncide avec la métrique de Kobayashi. Une sous-variété de $\mathcal M_{g,n}$ est dite \textit{totalement géodésique} si elle contient toutes les géodésiques de Teichmüller qui lui sont tangentes. Les sous-variétés totalement géodésiques de dimension (complexe) 1, appelées courbes de Teichmüller, sont relativement bien étudiées depuis les premières constructions de Veech dans les années 80 ; elles sont en particulier infiniment nombreuses dans chaque espace de modules $\mathcal M_{g,n}$. Récemment, Wright a montré, en s'appuyant sur des résultats de finitude d'Eskin, Filip et Wright, qu'en dimension plus grande, ce n'était plus le cas : il n'y a qu'un nombre fini de telles sous-variétés dans chaque $\mathcal M_{g,n}$. Dans cet exposé nous présenterons la preuve de ce résultat : plus précisément nous expliquerons comment se ramener aux résultats d'Eskin--Filip--Wright en passant par les sous-variétés linéaires des espaces de modules de différentielles abéliennes. Nous présenterons également les constructions d'exemples primitifs de dimension $2$ en petit genre d'Eskin-McMullen-Mukamel-Wright.

Let $\mathcal M_{g,n}$ be the moduli space of Riemann surfaces of genus $g$ with $n$ marked points. This space is naturally endowed with the Teichmüller metric, a Finsler metric that compares the conformal structures on surfaces. This metric coincides with the Kobayashi metric. A submanifold of $\mathcal M_{g,n}$ is \textit{totally geodesic} if it contains every Teichmüller geodesic tangent to it.  The totally geodesic submanifolds of complex dimension~$1$ are called Teichmüller curves. They are well studied since the first constructions of Veech in the eighties. There are infinitely many such curves in each moduli space $ \mathcal M_{g,n}$. By a recent result of Wright, this is not true for higher dimensional totally geodesic submanifolds: there are only finitely many such submanifolds of dimension greater than one in $ \mathcal M_{g,n}$. In this talk we will present the proof of this result, more precisely we will explain how to use the finiteness results of Eskin-Filip-Wright on affine invariant submanifolds of the moduli space of Abelian differentials. We will also present the constructions of primitive examples of dimension~$2$ in small genus, due to Eskin-McMullen--Mukamel-Wright.

Espaces de modules, surfaces plates, métrique de Teichmüller, géodésiques complexes
Moduli spaces, flat surfaces, Teichmüller metric, complex geodesics

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