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Exposé Bourbaki 1218 : Dérivation de l'équation cinétique associée à l'équation de Schrödinger cubique [d'après Yu Deng et Zaher Hani]

Exposé Bourbaki 1218 : Derivation of the kinetic equation associated with the cubic Schrödinger equation [after Yu Deng and Zaher Hani]

Anne-Sophie de SUZZONI
Exposé Bourbaki 1218 : Dérivation de l'équation cinétique associée à l'équation de Schrödinger cubique [d'après Yu Deng et Zaher Hani]
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  • Année : 2024
  • Tome : 454
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35Q55,35Q82, 82C10
  • Pages : 341-374
  • DOI : 10.24033/ast.1235

La turbulence d'onde est l'étude de l'évolution de la loi d'une solution d'une équation d'onde lorsque celle-ci a pour donnée initiale une variable aléatoire présentant certaines symétries. Cette loi vérifie une équation d'évolution dite cinétique par analogie avec les équations cinétiques de type Boltzmann. Un des enjeux de la turbulence d'onde est de dériver rigoureusement ces équations cinétiques. L'équation d'onde qu'on considère ici est l'équation de Schrödinger cubique. Dans cet exposé, on commencera par présenter les différents objets de la théorie, en s'appuyant sur l'exemple de l'équation de Schrödinger, puis on donnera une dérivation heuristique, provenant de la littérature physique, de l'équation cinétique associée. Cela permet d'exhiber l'équation cinétique mais la preuve de la dérivation rigoureuse emprunte un autre chemin que celui désigné par la dérivation heuristique. En particulier, la preuve repose sur une décomposition de la solution en arbres ou diagrammes de Feynman déjà présente dans la littérature physique. On présentera cette diagrammatique, la structure générale de la preuve, ainsi que quelques éléments de combinatoire y intervenant.

Wave turbulence is the study of the evolution of the law of a solution to a wave equation whose initial datum is a random variable with certain symmetries. This law satisifies an evolution equation called kinetic by analogy with the Boltzmann-type kinetic equations. One of the challenges of wave turbulence is to derive these kinetic equations rigorously. The wave equation considered here is the cubic Schrödinger equation. In this talk, we will begin by presenting the various objects of the theory, using the example of the cubic Schrödinger equation, then we give a heuristic derivation coming from the physical literature of the associated kinetic equation. This makes it possible to exhibit the kinetic equation, but the proof of the rigorous derivation takes a different route from the one designated by the heuristic derivation. In particular, the proof relies on a decomposition of the solution into trees or Feynman diagrams already present in the physics literature. We will present the general structure of the proof, as well as some of the combinatorial elements involved.

Turbulence d'onde, équation de Schrödinger, données aléatoires
Wave turbulence, Schrödinger equation, random data

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