Pour un groupe $G$ d'homéomorphismes de la droite suffisamment riche, nous décrivons la structure des autres actions possibles de $G$ sur la droite, et nous étudions à quel point elles diffèrent de l’action standard. L’hypothèse principale est que $G$ localement mobile. Nous montrons que dans le cadre des actions $C^1$, l’action standard est essentiellement la seule action fidèle possible, tandis que plein d‘actions $C^0$ plus exotiques peuvent apparaître. Toutefois, les actions exotiques préservent une lamination, et on retrouve l'action standard dans l'action sur cette lamination. Nous déduisons aussi qu’une grande variété d’actions localement mobiles sont structurellement stables.