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Périodes $p$-adiques (Séminaire de Bures, 1988) - réédition 2020

Periodes $p$-adiques (Séminaire de Bures, 1988) - réédition 2020

Jean-Marc FONTAINE
Périodes $p$-adiques (Séminaire de Bures, 1988) - réédition 2020
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  • Année : 2020
  • Tome : 223
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G10, 11G25, 11S20, 14F20, 14F30, 14F40
  • Nb. de pages : 420
  • ISBN : 978-2-85629-924-1
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.1122

Soit $K$ un corps de caractéristique $0$, complet pour une valuation discrète à corps résiduel parfait $k$ de caractéristique $p > 0$ et $\bar K$ une clôture algébrique de $K$. Ce livre est centré sur l'étude des représentations $p$-adiques de ${\rm Gal}(\bar K / K)$, des différentes cohomologies $p$-adiques associées aux variétés algébriques propres et lisses sur $K$ et des comparaisons entre elles. Il contient notamment :

- la construction du corps $B_{dR}$ des périodes $p$-adiques et de certains de ses sous-anneaux ($B_{dR}^+, B_{cris}, B_{st},\ldots $) ;

- la définition des représentations $p$-adiques semi-stales et leur ification au moyen de $(\varphi , N)$-modules filtrés ;

- la définition et l'étude de la cohomologie cristalline à pôles logarithmiques pour les “log-schéma log-lisses”sur $k$ ;

- la comparaison entre la cohomologie cristalline à pôles logarithmiques et cohomologie de de Rham pour une variété propre et lisse $X$ sur $K$ ayant réduction semi-stable, ce qui permet d'associer à $X$ un $(\varphi , N)$-module filtré ;

- pour $X$ comme ci-dessus, un théorème de comparaison $p$-adique permettant de fabriquer la cohomologie étale $p$-adique de $X \otimes {\bar K}$ à partir de ce $(\varphi ,N)$-module filtré, lorsque la dimension de $X$ est $\leq (p-1)/2$ ;

- une version relative du théorème de comparaison $p$-adique sur un schéma abélien, moyennant des hypothèses générales ;

- l'étude de la monodromie et des réalisations $l$-adiques des $1$-motifs sur $K$.

La présente réédition de l'Astérisque 223 de 1994 comprend une liste d'errata et d'addenda, ainsi qu'une bibliographie additionnelle.

Let $K$ be a field of characteristic $0$ which is complete with respect to a discrete valuation with perfect residue field $k$ of characteristic $p>0$, and $\barK$ an algebraic closure of $K$. This volume is focused on the study of $p$-adic representations of ${\rm Gal}(\barK/K)$, of different $p$-adic cohomologies associated to smooth proper varieties over $K$ and of comparisons between them. It notably contains:

- the construction of the field $B_{\rm dR}$ of $p$-adic periods and of some of its subrings ($B^+_{\rm dR}$, $B_{\rm cris}$, $B_{\rm st}$,...);

- the definition of semi-stable $p$-adic representations and their classification in terms of filtered $(\varphi,N)$-modules;

- the definition and study of crystalline cohomology with logarithmic poles for log-smooth log-schemes over $k$;

- the comparison between crystalline cohomology with logarithmic poles and de Rham cohomology for a smooth proper variety $X$ over $K$ with semi-stable reduction, which allows to associate a filtered $(\varphi,N)$-module to $X$;

- for $X$ as above, a $p$-adic comparison theorem which allows to recover the $p$-adic \'etale cohomology of $X\otimes \barK$ from this filtered $(\varphi,N)$-module when the dimension of $X$ is $< (p-1)/2$;

- a relative version of the $p$-adic comparison theorem for an abelian scheme under quite general assumptions;

- the study of the monodromy and of the $\ell$-adic realizations of $1$-motives over $K$.

The present reedition of Astérique 223 of 1994 includes a list of {\it errata} and {\it addenda}, and an additional bibliography.

Anneau des périodes $p$-adiques, représentation galoisienne, représentation cristalline, représentation semi-stable, représentation de de Rham, $(\varphi,N)$-module filtré, cohomologie étale $\ell$-adique, cohomologie étale $p$-adique, cohomologie de de Rham, cohomologie cristalline, cohomologie log-cristalline, théorème de comparaison, schéma abélien, $1$-motif
$p$-adic period ring, Galois representation, crystalline representation, semi-stable representation, de Rham representation, filtered $(\varphi,N)$-module, $\ell$-adic \'etale cohomology, $p$-adic \'etale cohomology, de Rham cohomology, crystalline cohomology, log-crystalline cohomology, comparison theorem, abelian scheme, $1$-motive
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