Nous étudions le prolongement analytique de la résolvante $(H-\lambda )^{-1}$ pour un opérateur de Schrödinger périodique $H$. Nous montrons que $(H-\lambda )^{-1}$ s'étend à travers le spectre de $H$ au complémentaire d'un ensemble discret de points, appelés singularités de Van Hove en physique du solide. Les singularités de Van Hove sont les points où la surface de Fermi complexifiée n'est pas lisse et sont en général des points de branchement pour $(H-\lambda )^{-1}$. Nous étudions aussi la relation des singularités de Van Hove avec la structure de bande du spectre, les singularités de la densité d'états et les résonances créées par des impuretés.