Une filtration convenable de l'image réciproque du fibré tangent de la grassmannienne d'un espace vectoriel complexe, sur la variété de ses drapeaux complets, nous permet de calculer, dans la lignée d'un travail de J.-P. Demailly, certains groupes de cohomologie de Dolbeault des fibrés associés au fibré quotient universel sur la grassmannienne. En particulier, nous établissons un résultat d'annulation de la cohomologie des puissances tensorielles de ce fibré tensorisées par une puissance assez grande de son déterminant. Le cas de ses puissances symétriques donne enfin de nouveaux contre-exemples à un énoncé de Faltings et une question de Le Potier, tous deux infirmés par Peternell, Le Potier et Schneider.