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Resonance theory for periodic Schrödinger operators

Resonance theory for periodic Schrödinger operators

Christian Gérard
Resonance theory for periodic Schrödinger operators
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  • Année : 1990
  • Fascicule : 1
  • Tome : 118
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 27-54
  • DOI : 10.24033/bsmf.2134
Nous étudions le prolongement analytique de la résolvante $(H-\lambda )^{-1}$ pour un opérateur de Schrödinger périodique $H$. Nous montrons que $(H-\lambda )^{-1}$ s'étend à travers le spectre de $H$ au complémentaire d'un ensemble discret de points, appelés singularités de Van Hove en physique du solide. Les singularités de Van Hove sont les points où la surface de Fermi complexifiée n'est pas lisse et sont en général des points de branchement pour $(H-\lambda )^{-1}$. Nous étudions aussi la relation des singularités de Van Hove avec la structure de bande du spectre, les singularités de la densité d'états et les résonances créées par des impuretés.
We study the problem of analytic extension of the resolvent $(H-\lambda )^{-1}$ for $H$ a periodic Schrödinger operator. We prove that $(H-\lambda )^{-1}$ extends across the spectrum of $H$ to the complementary of a discrete set of points, called Van Hove singularities in solid state physics. The Van Hove singularities are roughly the points where the (complex) Fermi surface is not smooth, and are usually branch points of $(H-\lambda )^{-1}$. We study also the relationship of the Van Hove singularities with the band structure of the spectrum, the singularities of the density of states, and the resonances created by impurities.