Soit $K$ un corps de fonctions d'une variable sur un corps fini de caractéristique $p$. On détermine les courbes algébriques sur $K$ ayant une fonction $K$-rationnelle dont leurs valeurs dans une infinité de points $K$-rationnels sont des puissances $p$-èmes. On en déduit la finitude de l'ensemble des points rationnels des courbes sur $K$ qui changent de genre sous une extension de corps de base.