SMF

Méthodes géométriques pour les problèmes à frontières libres

Geometric methods for free boundary problems

Régis Monneau
     
                
  • Année : 2009
  • Tome : 17
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35R35
  • Pages : 113-148
Ces notes de cours présentent une introduction à l'étude des problèmes à frontières libres. Le cours se focalise sur le problème de l'obstacle stationnaire. L'exemple ique est celui d'une membrane élastique pesante ayant une zone de contact avec un plan qui lui fait obstacle. Le bord de la zone de contact est la frontière libre que nous étudions dans ce cours. La méthode ique consiste à prouver que la solution faible du problème a une certaine régularité optimale. Les notions de blow-up et les formules de monotonies qui permettent d'établir une ification de type Liouville pour les limites de blow-up sont introduites ensuite. Cette ification est utilisée pour remonter à la régularité de la frontière libre. Ceci est mis en œuvre en détail pour déduire une certaine régularité de la partie singulière de la frontière libre. La démarche est simplement esquissée, en expliquant comment il est aussi possible de remonter à la régularité du reste de la frontière libre, c'est-à-dire sa partie régulière.
These notes (Summer School CIMPA Damas, May 2004) present an introduction to the study of free boundary problems. This course focuses on the stationary obstacle problem. The ical example consists in an elastic membrane, submitted to gravity. This membrane is above a plane which is the obstacle. The boundary of the contact zone is the free boundary that we study in this course. The ical method consists in proving that the weak solution of the problem has a certain optimal regularity. Then the notions of blow-up and monotonicity formulas are introduced. These tools allow to give a Liouville ification of the blow-up limits. This icication is then used to come back to the regularity of the free boundary. This method is developed in details to deduce a certain regularity of the singular part of the free boundary. In the case of the regular part of the free boundary, only the general lines of the approach are presented.
Frontières libres, problème de l'obstacle, blow-up, formule de monotonie, théorème de Liouville, ensemble singulier
Free boundary problems, obstacle problem, blow-up, monotonicity formula, Liouville theorem, singular set