Soit $X$ une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique $>2$. On considère la paire duale $H=\mathrm {SO}_{2m}$, $G=\mathrm {Sp}_{2n}$ sur $X$ où $H$ est déployé. Notons $\mathrm {Bun}_G$ et $\mathrm {Bun}_H$ les champs de modules des $G$-torseurs et des $H$-torseurs sur $X$. Le faisceau thêta $\mathrm {Aut}_{G,H}$ sur $\mathrm {Bun}_G\times \mathrm {Bun}_H$ donne lieu aux foncteurs de thêta-lifting $F_G: \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_H)\to \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_G)$ et $F_H: \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_G)\to \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_H)$ entre les catégories dérivées correspondantes. On décrit la relation entre ces foncteurs et les opérateurs de Hecke. Dans deux cas particuliers cela devient la fonctorialité de Langlands géométrique pour cette paire (cas partout non ramifié). À savoir, on montre que pour $n=m$ le foncteur $F_G: \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_H)\to \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_G)$ commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l'inclusion des groupes duaux de Langlands $\check {H}\,\widetilde {\to }\, \mathrm {SO}_{2n}\stackrel {}{\hookrightarrow } \mathrm {SO}_{2n+1}\,\widetilde {\to }\,\check {G}$. Pour $m=n+1$ on montre que le foncteur $F_H: \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_G)\to \mathrm {D}(\mathrm {Bun}_H)$ commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l'inclusion des groupes duaux de Langlands $\check {G}\,\widetilde {\to }\, \mathrm {SO}_{2n+1}\stackrel {}{\hookrightarrow }\mathrm {SO}_{2n+2}\,\widetilde {\to }\, \check {H}$. Dans d'autres cas la relation est plus complexe et fait intervenir le $\mathrm {SL}_2$ d'Arthur. Comme une étape de la preuve, on établit le thêta-lifting géométrique pour la paire duale $\mathrm {GL}_m, \mathrm {GL}_n$. Nos résultats globaux sont déduits de résultats locaux correspondants, qui géométrisent un théorème de Rallis.