$1$-motifs d'Albanese et de Picard
Albanese and Picard $1$-motives
Anglais
Soit $X$ une variété algébrique de dimension $n$ sur un corps de caractéristique $0$. Nous décrivons les $1$-motifs de Deligne $\mathrm {Alb}^{+}(X)$, $\mathrm {Alb}^{-}(X)$, $\mathrm {Pic}^{+}(X)$ et $\mathrm {Pic}^{-}(X)$ définis algébriquement, qui généralisent les variétés d'Albanese et de Picard classiques d'une variété projective lisse. Nous calculons les réalisations de Hodge, $\ell $-adique et de De Rham, montrant ainsi la conjecture de Deligne pour $H^{2n-1}$, $H_{2n-1}$, $H^1$ et $H_1$. Nous étudions la fonctorialité, l'universalité, l'invariance par homotopie et l'invariance par formation de fibrés projectifs. Nous comparons nos $1$-motifs homologiques et cohomologiques pour les schémas normaux. Pour des schémas propres, nous obtenons une application d'Abel-Jacobi du groupe de (Levine–Weibel) Chow des zéro-cycles vers notre $1$-motif cohomologique d'Albanese, qui est l'homomorphisme universel régulier vers les variétés semi-abéliennes. En utilisant cette propriété universelle, nous obtenons des applications de Gysin « motiviques » pour les morphismes projectifs localement intersection complète.