Nous déduisons une formule du type Cauchy-Fantappiè-Leray n'utilisant que des sections localement définies. À l'aide de cela, nous construisons une formule d'inversion pour la transformation de Fantappiè dans le cas $\mathbb {C}$-convexe général. Ceci rétablit la moitié non démontrée d'une conjecture de Aïzenberg, Trutnev et Znamenskij affirmant qu'un domaine est $\mathbb {C}$-convexe si et seulement si la transformation de Fantappiè y est un isomorphisme.