Si $K$ est un corps parfait de caractéristique $p > 0$, on définit, pour tout $K$-schéma lisse $X$, une théorie de classes de Chern et de classes de cycles à valeurs dans le groupe de cohomologie étale $H^i (X_{\rm\acute et}, W_n \Omega ^{i}_{\rm log})$, où $W_n \Omega ^{\bullet }_{X}$ est complexe de Rham-Witt de cran $n$ de $X$ et $W_n \Omega ^{i}_{\rm log}$ le sous-faisceau abélien de $W_n \Omega ^{i}_{X}$ engendré localement, pour la topologie étale, par les différentielles logarithmiques. Via l'application naturelle de $H^i (X_{\rm\acute et}, W_n \Omega ^{i}_{\rm log})$ dans le groupe de cohomologie cristalline $H^{2i}_{\rm cris} (X/W_n)$, on retrouve les classes de Chern de Berthelot-Illusie, et la classe de cohomologie d'un sous-schéma fermé lisse construite par Berthelot. Notre construction de la classe de cohomologie d'un cycle repose sur un théorème de pureté pour les faisceaux de $W_n \Omega ^{i}_{\rm log}$. On montre que cette classe transforme intersections propres en cup-produits, et l'on prouve la comptabilité usuelle entre classe de Chern et classe de cycle pour un sous-schéma fermé (non nécessairement lisse).