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Comportement asymptotique des dimensions des covariants

Michel Brion, Jacques Dixmier
Comportement asymptotique des dimensions des covariants
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  • Année : 1991
  • Fascicule : 2
  • Tome : 119
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 217-230
  • DOI : 10.24033/bsmf.2165
Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $0$ et soit $A=\oplus _{n\geq 0} A_n$ une $k$-algèbre graduée intègre de type fini, avec $A_0=k\cdot 1$ et $A_n\neq 0$ pour $n$ assez grand. Soient $G$ un groupe réductif sur $k$, $e$ son élément neutre, $\Lambda $ l'ensemble des es de représentations rationnelles simples de dimension finie de $G$, $0$ l'élément trivial de dimension $1$ de $\Lambda $. On suppose que $G$ opère fidèlement rationnellement dans $A$ par automorphismes gradués. Pour $\lambda \in \Lambda $, soit $m_{\lambda ,n}$ la multiplicité de $\lambda $ dans $A_n$. Soit $X$ la variété affine irréductible sur $k$ définie par $A$. Le groupe $G$ opère dans $X$. Pour simplifier ce résumé, supposons que $m_{0,n}\neq 0$ pour $n$ assez grand, que l'orbite générique de $G$ dans $X$ soit fermée et que le stabilisateur générique d'un point de $X$ soit trivial. Alors $m_{\lambda ,n}/m_{0,n}\to \dim \lambda $ quand $n\rightarrow \infty $. Cela généralise un résultat de R. Howe, relatif au cas où $G$ est fini. Supposons que $G$ soit la complexification d'un groupe de Lie compact connexe $K$. Soit $\psi _n$ le caractère, convenablement normalisé, de $K$ opérant dans $A_n$. Alors $\psi _n\to \varepsilon _e$ (masse de Dirac en $e$) au sens des distributions quand $n\rightarrow \infty $.
Let $k$ be an algebraically closed field, of characteristic $0$, $A=\oplus _{n\geq 0} A_n$ a graded $k$-algebra which is finitely generated and a domain, with $A_0=k\cdot 1$ and $A_n\neq 0$ for $n$ big enough. Let $G$ be a reductive group over $k$, $e$ its unit element, $\Lambda $ the set of es of finite dimensional rational simple representations of $G$, 0 the trivial element of dimension $1$ of $\Lambda $. Assume that $G$ operates faithfully and rationally in $A$ by graded automorphisms. For $\lambda \in \Lambda $, let $m_{\lambda ,n}$ be the multiplicity of $\lambda $ in $A_n$. Let $X$ be the affine irreducible variety over $k$ defined by $A$. The group $G$ operates in $X$. To simplify this abstract, assume that $m_{0,n}\neq 0$ for $n$ big enough, that the generic orbit of $G$ in $X$ is closed, and that the stabilizer of a generic point of $X$ is trivial. Then $m_{\lambda ,n}/m_{0,n}\to \dim \lambda $ as $n\rightarrow \infty $. This generalizes a result by R. Howe, which concerns the case where $G$ is finite. Assume that $G$ is the complexification of a connected compact Lie group $K$. Let $\psi _n$ be the character of the representation of $K$ in $A_n$, with a suitable normalization. Then, as $n\rightarrow \infty $, $\psi _n\to \varepsilon _e$ (Dirac mass at $e$) in the space of distributions on $K$.