Nous étudions la dynamique des polynômes à coefficients dans un corps $K$ non-archimédien, où $K$ contient un sous-ensemble dense d'éléments algébriques sur un corps $k$ à valeurs discrètes. Nous montrons que toute composante de Fatou errante est contenue dans le bassin d'une orbite périodique. Nous obtenons une description complète des nouveaux points d'ensemble de Julia qui apparaissent quand on passe de $K$ à la ligne de Berkovich affine sur $K$. Nous donnons une caractérisation dynamique des polynômes ayant des ensembles de Julia algébriques. Plus précisément, nous établissons qu'un polynôme à coefficients algébriques a un ensemble de Julia algébrique si tout élément critique est non-recurrent.