Nous étudions les représentations lisses irréductibles modulo $p$ de $\mathrm {SL}(2,F)$, où $F$ est un corps local complet non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et de corps résiduel fini. En particulier, nous relions ces objets aux représentations modulo $p$ de $\mathrm {GL}(2,F)$ étudiées par Barthel-Livné et Breuil. Lorsque $F = \mathbb {Q}_{p}$, nous décrivons complètement les représentations dites supersingulières, qui apparaissent par paquets de taille $1$ ou $2$, et définissons une correspondance de Langlands modulo $p$ pour $\mathrm {SL}(2,\mathbb {Q}_{p})$ qui diffère légèrement mais sensiblement de la correspondance construite par Breuil pour $\mathrm {GL}(2,\mathbb {Q}_{p})$.