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Critère d'exactitude pour les formes de degré $1$ sur les quadriques complexes

Jacques Gasqui, Hubert Goldschmidt
Critère d'exactitude pour les formes de degré $1$ sur les quadriques complexes
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  • Année : 1989
  • Fascicule : 1
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 103-119
  • DOI : 10.24033/bsmf.2114
Soit $(X,g)$ une variété riemannienne compacte. Une forme différentielle de degré $1$ sur $X$ est à énergie nulle si son intégrale le long de toute géodésique fermée de $X$ est nulle. Dans le cas où $(X,g)$ est une grassmannienne complexe ou réelle, simplement connexe et non isométrique à $\mathbb {P}^1(\mathbb {C})$ ou $\mathbb {P}^1(\mathbb {C})\times \mathbb {P}^1(\mathbb {C})$, nous montrons que les seules formes de degré $1$, à énergie nulle, sont exactes.
We say that a $1$-form $\alpha $ on a compact Riemannian manifold $(X,g)$ satisfies the zero-energy condition if the integrals of $\alpha $ over the closed geodesics of $X$ vanish. If $(X,g)$ is a real or complex simply-connected Grassmannian, which is not isometric to $\mathbb {CP}^1$ or $\mathbb {CP}^1\times \mathbb {CP}^1$, we prove that a $1$-form on $X$ satisfying the zero-energy condition is exact.