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Symmetric and asymmetric diophantine approximation of continued fractions

Symmetric and asymmetric diophantine approximation of continued fractions

Jingcheng Tong
Symmetric and asymmetric diophantine approximation of continued fractions
     
                
  • Année : 1989
  • Fascicule : 1
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 59-67
  • DOI : 10.24033/bsmf.2112
Soit ξ un nombre irrationnel avec l'expansion de la fraction continue simple ξ=[a0;a1,,ai,] et soit pi/qi son i\`eme convergent. Dans cet article, on donne explicitement deux suites de nombres réels (αn), (βn) et on démontre les résultats suivants : (i) Entre trois convergents consécutifs pi/qi de ξ (i=n2,n1,n), un au moins satisfait |ξpi/qi|<1/(αnqiqi+1) et un au moins ne satisfait pas cette inégalité ; (ii) Soit τ>0. Entre quatre convergents consécutifs pi/qi de ξ (i=n2,n1, n, n+1), un au moins satisfait 1/(βnqiqi+1)<|ξpi/qi|<τ/(βnqiqi+1) et un au moins ne satisfait pas ces inégalités.
Let ξ be an irrational number with simple continued fraction expansion ξ=[a0;a1,,ai,], and pi/qi be its i-th convergent. In this paper, we give explicitly two sequences of real numbers (αn), (βn), and prove the following results : (i) Among any three consecutive convergents pi/qi of ξ (i=n2, n1, n), at least one satisfies |ξpi/qi|<1/(αnqiqi+1), and at least one does not satisfy this inequality ; (ii) For any τ>0, among any four consecutive convergents pi/qi of ξ (i=n2, n1, n, n+1), at least one satisfies 1/(βnqiqi+1)<|ξpi/qi|<τ/(βnqiqi+1), and at least one does not satisfy this inequality.


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