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Cohomologie $T$-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kač–Moody

Alberto Arabia
Cohomologie $T$-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kač–Moody
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  • Année : 1989
  • Fascicule : 2
  • Tome : 117
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Pages : 129-165
  • DOI : 10.24033/bsmf.2116
On définit des opérateurs $\mathcal {A}_{i}$ de Bernstein-Gel'fand-Gel'fand sur la cohomologie $T$-équivariante entière $H^{*}_T(\mathcal {F})$ de la variété de drapeaux $\mathcal {F}=G/B$ d'un groupe de Kač-Moody $G$. En intégrant sur les variétés de Schubert de $\mathcal {F}$, on caractérise une famille $\{\mathcal {L}_{w}\}_{w\in { W}}$ de formes $H^{*}_T(\,\cdot \,)$-linéaires sur $H^{*}_T(\mathcal {F})$, base du dual de $H^{*}_T(\mathcal {F})$. Ces formes canoniques sont liées aux opérateurs $\mathcal {A}_{i}$ par l'égalité $\mathcal {L}_{wr_{i}}=\mathcal {L}_{w}\mathcal {A}_{i}$ lorsque $wr_{i}>w$, ce qui entraîne le caractère intrinsèque des composées $\mathcal {A}_{w}$ des opérateurs en question. On prouve que les $\mathcal {A}_{w}$ peuvent être obtenus par intégration sur les fibres de certaines fibrations au-dessus de $\mathcal F$. Par restriction au sous-espace $W$ des points fixes de $T$ dans $\mathcal {F}$, on donne un homomorphisme injectif $\Theta $ de $H^{*}_T(\mathcal {F})$ dans l'algèbre $F(W;Q)$ de toutes les applications définies sur $W$ à valeurs dans le corps $Q$ des fractions rationnelles de l'algèbre de polynômes $S=\mathbb {Z}[\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]$, où $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ dénote le système des racines simples de l'algèbre de Lie de $G$. Des formules explicites pour les localisations des formes $\mathcal {L}_w$ sur $F(W;Q)$ sont données. On détermine de même les localisations $A_i$ des $\mathcal {A}_i$ sur $F(W;Q)$ nous permettant de caractériser algébriquement l'image de $\Theta $ comme la plus grande partie de $F(W;S)$ constituée des applications de degrés bornés et stable sous l'action des opérateurs $A_i$, celle-ci s'identifie alors facilement à l'algèbre $\Lambda $ de B. Kostant et S. Kumar, expliquant les principaux résultats de [12] et [13].
Bernstein-Gel'fand-Gel'fand operators $\mathcal {A}_{i}$ are defined over the integral $T$-equivariant cohomology $H^*_T(\mathcal {F})$ of the flag variety $\mathcal {F}=G/B$ of a Kač-Moody group $G$. By integration over the Schubert varieties of $\mathcal {F}$, we characterise a family $\{\mathcal {L}_{w}\}_{w\in W}$ of $H^{*}_T(\,\cdot \,)$-linear forms over $H^{*}_T(\mathcal {F})$, base of the dual of $H^{*}_T(\mathcal {F})$. These canonical forms are related to the operators $\mathcal {A}_{i}$ by the equality $\mathcal {L}_{wr_{i}}=\mathcal {L}_{w}\mathcal {A}_{i}$ whenever $wr_{i}>w$, implying the intrinsic character of the compositions $\mathcal {A}_{w}$ of the $\mathcal {A}_{i}$'s. We show that each $\mathcal {A}_{w}$ can be obtained by integration over fibers of certains fibrations above $\mathcal {F}$. By restriction to the sub-space $W$ of $T$-fixed points of $\mathcal {F}$, we give an injectif homomorphism $\Theta $ from $H^{*}_{ T}(\mathcal {F})$ into the algebra $F({ W};Q)$ of all maps defined on $W$ with values in the fraction field $Q$ of the polynomial algebra $S=\mathbb {Z}[\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]$, where $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ denotes the simple root system of the Lie algebra of $G$. Explicit formulas for the localisations of the $\mathcal {L}_{w}$'s over $F({ W};Q)$ are given. We determine also the localisations ${A}_{i}$'s of the $\mathcal {A}_{i}$'s over $ F({ W};Q)$, which allows us to characterise algebraically the image of $\Theta $ as the greatest subset of $F({ W};S)$ of maps of bounded degrees stable under the action of the ${ A}_{i}$'s, we then easily identify this image to the Kostant–Kumar algebra $\Lambda $, explaining the principal results of [12] and [13].