SMF

Ensembles quasi-minimaux avec contrainte de volume et rectifiabilité uniforme

Quasi-minimal sets with a volume constraint and uniform rectifiability

Séverine Rigot
  • Année : 2000
  • Tome : 82
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 49Q20 (28A75)
  • Nb. de pages : v+104
  • ISBN : 2-85629-086-093-0
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.395
Dans ce mémoire, on s'intéresse à la régularité des sous-ensembles de $\mathbb R$ qui quasi-minimisent le périmètre avec contrainte de volume, c'est-à-dire des sous-ensembles $G$ de $\mathbb R$ qui vérifient la condition de quasi-minimalité suivante : $\int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _G|\leq \int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _{G'}|+g(|G\triangle G'|),$ pour tout $G'\subset {\mathbb R}$ tel que $G\triangle G'\Subset {\mathbb R}$ et $|G'|=|G|$. Ici $\int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _G|$ désigne le périmètre de $G$ et $g:[0,+\infty [\rightarrow [0,+\infty [$ est fixée et vérifie $g(x)=o(x^{\frac {(n-1)}{n}})$ au voisinage de 0. Le principal résultat de ce mémoire est la rectifiabilité uniforme de la frontière des quasi-minima avec contrainte de volume, avec des paramètres universels. Nous appliquerons ces résultats à l'étude des minima de mesure de Lebesgue fixée de la fonctionnelle $E$ définie par $E(G)=H^{n-1} (\partial G)+\iint _{G\times G}K(x-y)\;dx\;dy,$ où $G\subset {\mathbb R}$, $H^{n-1} (\partial G)$ désigne la mesure de Hausdorff de dimension $n-1$ de la frontière de $G$ et $K\in L^1({\mathbb R})$ est à support compact. Les estimations uniformes sur les paramètres qui interviennent dans les propriétés de régularité des quasi-minima avec contrainte de volume nous permettront d'obtenir l'existence d'ensembles optimaux ainsi qu'une description de ces minima (régularité de leur frontière, taille et nombre de leurs composantes connexes).
In this memoir, we study the regularity of quasi-minimal sets for the perimeter with a volume constraint, i.e., measurable subsets $G$ of $\mathbb R$ which satisfy the following quasi-minimality condition : $\int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _G|\leq \int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _{G'}|+g(|G\triangle G'|),$ for every $G'\subset {\mathbb R}$ such that $G\triangle G'\Subset {\mathbb R}$ and $|G'|=|G|$. Here $\int _{{\mathbb R}}|\nabla \chi _G|$ denotes the perimeter of $G$ and $g:[0,+\infty [\rightarrow [0,+\infty [$ is fixed such that $g(x)=o(x^{\frac {(n-1)}{n}})$. The main result of this memoir is the uniform rectifiability of their boundary with universal parameters. We will then apply this result to the study of minimizers with prescribed Lebesgue measure of a functional $E$ defined by $E(G)=H^{n-1} (\partial G)+\iint _{G\times G}K(x-y)\;dx\;dy,$ where $G\subset {\mathbb R}$, $H^{n-1} (\partial G)$ denotes the $(n-1)$-Hausdorff measure of the boundary of $G$ and $K\in L^1({\mathbb R})$ with compact support. Using the fact that the parameters in the regularity properties of quasi-minimizers with a volume constraint are universal, we will be able to obtain the existence of optimal sets together with a description of these minimizers (regularity of their boundary, size and number of their connected components).
Ahlfors-régularité, rectifiabilité uniforme, quasi-minimum pour le périmètre

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