SMF

Espaces des lacets formels de dimension supérieure

Higher dimensional formal loop spaces

Benjamin Hennion
Espaces des lacets formels de dimension supérieure
  • Consulter un extrait
  • Année : 2017
  • Tome : 50
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18F99, 55U99
  • Pages : 609-663
  • DOI : 10.24033/asens.2329
L'espace des lacets lisses $\mathrm C^{\infty }(\mathrm S^1,M)$ associé à une variété symplectique $M$ se voit doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de $M$. Nous traiterons dans cet article d'un analogue algébrique de cet énoncé. Dans leur article [?], Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Nous généralisons leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma $X$ — pas forcément lisse — l'espace $\mathcal {L} ^d(X)$ de ses lacets formels de dimension $d$. Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate : de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité. Nous définirons également l'espace $\mathfrak {B} ^d(X)$ des bulles de $X$, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons que le cas échéant, il hérite de la structure symplectique de $X$.
If $M$ is a symplectic manifold then the space of smooth loops $\mathrm C^{\infty }(\mathrm S^1,M)$ inherits of a quasi-symplectic form. We will focus in this article on an algebraic analog of that result. In their article [?], Kapranov and Vasserot introduced and studied the formal loop space of a scheme $X$. We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme $X$—not necessarily smooth—we associate $\mathcal {L} ^d(X)$, the space of loops of dimension $d$. We prove it has a structure of (derived) Tate scheme—i.e., its tangent is a Tate module : it is infinite dimensional but behaves nicely enough regarding duality. We also define the bubble space $\mathfrak {B} ^d(X)$, a variation of the loop space. We prove that $\mathfrak {B} ^d(X)$ is endowed with a natural symplectic form as soon as $X$ has one (in the sense of [?]). Throughout this paper, we will use the tools of $(\infty ,1)$-categories and symplectic derived algebraic geometry.
Lacets formels, géométrie algébrique dérivée, structure symplectique décalée
Formal loops, derived algebraic geometry, shifted symplectic structures.
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +