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Estimations de Strichartz optimales pour l'équation des ondes dans une métrique peu régulière

Sharp Strichartz estimates for the wave equation on a rough background

Jérémie Szeftel
Estimations de Strichartz optimales pour l'équation des ondes dans une métrique peu régulière
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  • Année : 2016
  • Tome : 49
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35L05
  • Pages : 1279-1309
  • DOI : 10.24033/asens.2309
Dans cet article, nous obtenons des estimations de Strichartz optimales pour les solutions de l'équation des ondes $\square _{\mathbf {g}} \phi =0$ où ${\mathbf {g}} $ est une métrique lorentzienne peu régulière sur un espace-temps $\mathcal {M} $ de dimension 4. Il s'agit de la dernière étape de la preuve de la conjecture de courbure $L^2$ proposée dans [?], et résolue par S. Klainerman, I. Rodnianski et l'auteur dans [?], qui repose également sur la série d'articles [?] [?] [?] [?]. De telles estimations sont au cœur de la théorie de l'existence locale pour les équations d'ondes non linéaires en faible régularité. La difficulté est intimement liée à la régularité de l'équation eikonale ${\mathbf {g}} ^{\alpha \beta }\partial _\alpha u\partial _\beta u=0$ pour une métrique peu régulière ${\mathbf {g}} $. Avec pour but final la preuve de la conjecture de courbure $L^2$, nous prouvons des estimations de Strichartz pour toutes les paires admissibles sous des hypothèses minimales de régularité pour l'équation eikonale.
In this paper, we obtain sharp Strichartz estimates for solutions of the wave equation $\square _{\mathbf {g}} \phi =0$ where ${\mathbf {g}} $ is a rough Lorentzian metric on a 4 dimensional space-time $\mathcal {M} $. This is the last step of the proof of the bounded $L^2$ curvature conjecture proposed in [?], and solved by S. Klainerman, I. Rodnianski and the author in [?], which also relies on the sequence of papers [?] [?] [?] [?]. Obtaining such estimates is at the core of the low regularity well-posedness theory for quasilinear wave equations. The difficulty is intimately connected to the regularity of the eikonal equation ${\mathbf {g}} ^{\alpha \beta }\partial _\alpha u\partial _\beta u=0$ for a rough metric ${\mathbf {g}} $. In order to be consistent with the final goal of proving the bounded $L^2$ curvature conjecture, we prove Strichartz estimates for all admissible Strichartz pairs under minimal regularity assumptions on the solutions of the eikonal equation.
Estimations de Strichartz, équation des ondes, métrique peu régulière.
Strichartz estimates, wave equation, rough metric.
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