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Quantifications des résolutions symplectiques coniques II : catégorie O et dualité symplectique

Quantizations of conical symplectic resolutions II: category $\mathcal {O}$ and symplectic duality

Tom BRADEN, Anthony LICATA, Nicholas PROUDFOOT, Ben WEBSTER (with an appendix by I. LOSEV)
Quantifications des résolutions symplectiques coniques II : catégorie O et dualité symplectique
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  • Année : 2016
  • Tome : 384
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 75-179
  • DOI : 10.24033/ast.1011

Nous définissons et etudions la catégorie $ \mathcal O $ pour une résolution symplectique, généralisant la catégorie $ \mathcal O $ ique de BGG, qui est associée à la résolution de Springer. Cela inclut le développement de propriétés intrinsèques en parallèle du cas de BGG, tels que la structure de plus haut poids et des analogues des foncteurs de twist et de battage, avec une discussion approfondie des exemples individuels. Nous observons que la catégorie $ \mathcal O $ est souvent Koszul, et son Koszul dual est souvent équivalent à la catégorie $ \mathcal O $ pour une autre résolution symplectique. Cela nous amène à définir la notion de dualité symplectique entre les résolutions symplectiques, qui est une collection d'isomorphismes entre des structures de la théorie des représentations et géométrique, y compris une dualité de Koszul entre les deux catégories. Cette dualité a diverses conséquences cohomologiques, y compris (conjecturalement) une identification de deux réalisations géométriques, defini par Nakajima et Ginzburg/Mirković-Vilonen, des espaces de poids de simples représentations des groupes algébriques simples simplement lacées. Une annexe par Ivan Losev établit une étape clé dans la preuve que $ \mathcal O $ est de plus haut poids.

We define and study category $\mathcal O $ for a symplectic resolution, generalizing the ical BGG category $\mathcal O $, which is associated with the Springer resolution. This includes the development of intrinsic properties paralleling the BGG case, such as a highest weight structure and analogues of twisting and shuffling functors, along with an extensive discussion of individual examples. We observe that category $\mathcal O $ is often Koszul, and its Koszul dual is often equivalent to category $\mathcal O$ for a different symplectic resolution. This leads us to define the notion of a symplectic duality between symplectic resolutions, which is a collection of isomorphisms between representation theoretic and geometric structures, including a Koszul duality between the two categories. This duality has various cohomological consequences, including (conjecturally) an identification of two geometric realizations, due to Nakajima and Ginzburg/Mirković-Vilonen, of weight spaces of simple representations of simply-laced simple algebraic groups. An appendix by Ivan Losev establishes a key step in the proof that $\mathcal O $ is highest weight.


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