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Exposé 1107 : Bornes de Weyl fractales et résonances

Exposé 1107 : Fractal Weyl bounds and resonances

Frédéric NAUD
Exposé 1107 : Bornes de Weyl fractales et résonances
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  • Année : 2017
  • Tome : 390
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35P20, 35P25.
  • Pages : 77-100
  • DOI : 10.24033/ast.1021

Hermann Weyl a démontré en 1911 un théorème remarquable sur la répartition asymptotique des valeurs propres du laplacien pour les domaines compacts à bord dans l'espace euclidien. Dans le cas des domaines non compacts de volume infini, il existe une notion naturelle qui généralise celle de valeur propre : les résonances. Les résonances forment un ensemble discret de nombres complexes dont les parties réelles sont liées à une fréquence d'oscillation tandis que la partie imaginaire traduit un taux d'amortissement. Un travail récent de Nonnenmacher-Sjöstrand-Zworski établit des bornes supérieures sur la densité des résonances lorsqu'on les compte dans une bande horizontale du plan complexe. Le taux de croissance fait apparaître, contrairement à la loi de Weyl ique, un exposant « non entier » lié à la dimension de Minkowski des trajectoires captées : c'est ce qu'on appelle une borne de Weyl « fractale ». Nous ferons une introduction à la notion de résonance et mettrons en perspective le travail de N-S-Z en faisant un historique des résultats précédents de la théorie.

In 1911, Hermann Weyl proved a celebrated theorem on the asymptotic distribution of the eigenvalues of the Euclidean Laplacian on a bounded domain (Weyl's law). On non-compact domains (or manifolds) there exists a natural replacement data for the missing eigenvalues of the Laplacian, which is called resonances or scattering poles. Resonances form a discrete set of complex numbers whose real parts are related to frequency while imaginary parts reflect a damping rate. A recent result of Nonnenmacher-Sjöstrand-Zworski is concerned with upper bound on the density of resonances when counting resonances in a fixed horizontal strip. The growth rate is a power law with a non-integer exponent related to the Minkowski dimension of trapped billiard trajectories inside the (non-compact) domain. This is an example of a “fractal” Weyl bound. To put the work of N-S-Z into perspective, we will first try to provide an “elementary” introduction to the notion of resonance and then review some of the ical results that led to the most recent developments.

Laplacien, résonances, dynamique hyperbolique.
Laplace operator, resonances and hyperbolic dynamics.
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