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Exposé Bourbaki 1197 : La conjecture des dénominateurs non bornés [d'après F. Calegari, V. Dimitrov, and Y. Tang]

Exposé Bourbaki 1197 : The unbounded denominators conjecture [after F. Calegari, V. Dimitrov, and Y. Tang]

Javier FRESAN
Exposé Bourbaki 1197 : La conjecture des dénominateurs non bornés [d'après F. Calegari, V. Dimitrov, and Y. Tang]
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  • Année : 2023
  • Tome : 446
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F11, 11F30, 14G99, 20H05, 30D35, 30F35, 33C05
  • Pages : 1-27
  • DOI : 10.24033/ast.1206

Soit $f$ une forme modulaire pour un sous-groupe d'indice fini de $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ dont les coefficients de Fourier sont algébriques. Il résulte de la théorie classique des formes modulaires que les coefficients de $f$ sont à dénominateurs bornés lorsque le sous-groupe est de congruence. À la fin des années 60, Atkin et Swinnerton-Dyer ont conjecturé que, réciproquement, une forme à dénominateurs bornés est toujours modulaire pour un sous-groupe de congruence. J'expliquerai une preuve récente de cette conjecture due à Calegari, Dimitrov et Tang. Elle repose sur de belles interactions entre un nouveau théorème d'algébricité pour les séries entières, la théorie de Nevanlinna pour des uniformisations explicites du plan complexe privé des racines de l'unité et le fait que $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}[1/p])$ possède la propriété des sous-groupes de congruence.

Let $f$ be a modular form for a finite index subgroup $\Gamma$ of $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ whose Fourier coefficients are algebraic numbers. It follows from the classical theory of modular forms that these coefficients have bounded denominators when $\Gamma$ is a congruence subgroup. In the late 1960s, Atkin and Swinnerton-Dyer conjectured that, conversely, a form with bounded denominators is always modular for a congruence subgroup. I will explain a recent proof of this conjecture by Calegari, Dimitrov, and Tang. It relies on beautiful interactions between a new algebraicity theorem for power series, Nevanlinna theory for explicit uniformisations of the complex plane minus the roots of unity, and the fact that $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}[1/p])$ has the congruence subgroup property.

Formes modulaires, sous-groupes de congruence, coefficients de Fourier, dénominateurs non bornés, théorèmes d'algébricité, uniformisation de surfaces de Riemann, théorie de Nevanlinna
Modular forms, congruence subgroups, Fourier coefficients, unbounded denominators, algebraicity theorems, uniformisation of Riemann surfaces, Nevanlinna theory

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