La conjecture du facteur direct de Hochster (énoncée dans les années 70) est un énoncé} d’algèbre commutative de nature apparemment anodine : si $B$ est une extension finie d’un anneau commutatif noethérien régulier $A$, alors $A$ est un facteur direct de $B$ en tant que $A$-module. Cette conjecture fait partie d’un faisceau de conjectures connues sous le nom de « conjectures homologiques », avec des implications frappantes en géométrie algébrique. Après la percée de Raymond C. Heitmann en 2002, qui a démontré la conjecture pour $\dim A\leq 3$, Yves André a démontré la conjecture du facteur direct en 2016. Peu de temps après Bhargav Bhatt a fourni une preuve plus simple. Les deux démonstrations utilisent de manière cruciale la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze, et le but de l’exposé est d’expliquer les principaux ingrédients de la preuve, ainsi que les raffinements obtenus ultérieurement par André et Bhatt.