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Exposé Bourbaki 1201 : La conjecture du facteur direct [d’après Y. André et B. Bhatt]

Exposé Bourbaki 1201 : The direct summand conjecture [after Y. André and B. Bhatt]

Gabriel DOSPINESCU
Exposé Bourbaki 1201 : La conjecture du facteur direct [d’après Y. André et B. Bhatt]
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  • Année : 2023
  • Tome : 446
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 13C14, 13H10, 13D22, 13D02, 14G45
  • Pages : 141-197
  • DOI : 10.24033/ast.1210

La conjecture du facteur direct de Hochster (énoncée dans les années 70) est un énoncé} d’algèbre commutative de nature apparemment anodine : si $B$ est une extension finie d’un anneau commutatif noethérien régulier $A$, alors $A$ est un facteur direct de $B$ en tant que $A$-module. Cette conjecture fait partie d’un faisceau de conjectures connues sous le nom de « conjectures homologiques », avec des implications frappantes en géométrie algébrique. Après la percée de Raymond C. Heitmann en 2002, qui a démontré la conjecture pour $\dim A\leq 3$, Yves André a démontré la conjecture du facteur direct en 2016. Peu de temps après Bhargav Bhatt a fourni une preuve plus simple. Les deux démonstrations utilisent de manière cruciale la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze, et le but de l’exposé est d’expliquer les principaux ingrédients de la preuve, ainsi que les raffinements obtenus ultérieurement par André et Bhatt.

The Hochster's direct summand conjecture (stated in the 1970s) is a statement of commutative algebra of apparently elementary nature: if $B$ is a finite extension of a regular noetherian commutative ring $A$, then $A$ is a direct factor of $B$ as an $A$-module. This conjecture is part of a bundle of conjectures known as "homological conjectures'', with striking implications in algebraic geometry. After Raymond C. Heitmann's breakthrough in 2002, who proved the conjecture for $\dim A\leq 3$, Yves André proved the direct factor conjecture in 2016. Shortly afterwards Bhargav Bhatt provided a simpler proof. Both proofs make crucial use of Peter Scholze's theory of perfectoid spaces, and the aim of this talk is to explain the main ingredients of the proof, as well as the refinements subsequently obtained by André and Bhatt.

Conjectures homologiques, anneaux et espaces perfectoides, algèbres de Cohen-Macaulay
Homological conjectures, perfectoid rings and spaces, Cohen-Macaulay algebras

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