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Exposé Bourbaki 1203 : Algèbres de von Neumann, produits tensoriels, corrélations quantiques et calculabilité [d'après Ji, Natarajan, Vidick, Wright et Yuen]

Exposé Bourbaki 1203 : Von Neumann algebras, tensor products, quantum correlations, and computability [after Ji, Natarajan, Vidick, Wright, and Yuen]

Mikael DE LA SALLE
Exposé Bourbaki 1203 : Algèbres de von Neumann, produits tensoriels, corrélations quantiques et calculabilité [d'après Ji, Natarajan, Vidick, Wright et Yuen]
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  • Année : 2023
  • Tome : 446
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 46L06, 46L10, 68Q10, 81P05, 81P45
  • Pages : 225-249
  • DOI : 10.24033/ast.1212

En 1976, Connes demande si toute algèbre de von Neumann finie se plonge dans un ultraproduit d'algèbres de matrices. En 1980, Tsirelson demande si, dans la formulation mathématique de la mécanique quantique, autoriser des espaces de Hilbert de dimension infinie change fondamentalement le modèle. En 1993, Kirchberg conjecture que le produit tensoriel de deux copies de la $C^*$-algèbre pleine du groupe libre de rang infini dénombrable peut être muni d'une unique norme de $C^*$-algèbre. De manière surprenante et non triviale, ces trois problèmes sont en fait équivalents, c'est maintenant bien compris. Ces problèmes viennent d'être résolus, par la négative, avec des méthodes d'informatique : calculabilité, complexité, et informatique quantique. Je ferai de mon mieux pour raconter les grandes lignes de cette très longue preuve.

In 1976, Connes asked whether any finite von Neumann algebra embeds into an ultraproduct of matrix algebras. In 1980, Tsirelson asked whether, in the mathematical formulation of mechanics, allowing Hilbert spaces of infinite dimension fundamentally changes the model. In 1993, Kirchberg conjectures that the tensor product of two copies of the full $C^*$-algebra of the countable infinite rank free group can be equipped with a unique $C^*$-algebra norm. Surprisingly and non-trivially, these three problems are in fact equivalent, this is now well understood. These problems have just been solved, in the negative, with computer science methods: computability, complexity, and quantum computing. I will do my best to outline this very long proof.

Algèbres de von Neumann, problème de plongement de Connes, complexité algorithmique, corrélations quantiques, MIP*=RE
Connes embedding problem, computational complexity, quantum correlations, MIP*=RE

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